РОЗВИТОК ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ: ІСТОРИЧНИЙ АСПЕКТ

Поняття функції іде своїми коренями в ту далеку епоху, коли люди вперше зрозуміли, що явища, які оточують їх, взаємопов’язані. Людина ще не вміла рахувати, але вже знала, що чим довше горить вогнище, тим тепліше буде в печері.

Ідея функціональної залежності зародилась 4 – 5 тисяч років назад. Вона міститься вже в перших математично виражених відношеннях між величинами, в перших правилах дій над числами, в перших формулах для знаходження площі та об’єму фігур.

Розглянемо історію виникнення ідеї функціональної залежності в основних етапах її розвитку:

• стародавні часи, коли вивчення окремих залежностей не привело ще до усвідомлення і формулювання понять змінного аргументу та функції;

• середньовіччя з ХІІ чи XIV століття, коли ці поняття були вперше висвітлені в механічній чи геометричній формі;

• кінець ХХ століття та наступні 200 років. В цей період домінуючим стає аналітичне задання функції, задання функції у вигляді нескінченних степеневих рядів [2].

Важливою частиною вчення про функції є тригонометричні функції. Тригонометрія виникла і розвивалась в давнину як один з розділів астрономії, як її обчислювальний апарат, що відповідав практичним потребам людей. І саме астрономія визначила той факт, що сферична тригонометрія виникла раніше прямолінійної.

Для розвитку математики дуже важливими були праці індійських вчених з тригонометрії, хоч великих досягнень в цій галузі в них ще небагато.

В зв’язку з розквітом астрономії в елліністичних країнах (пізніше провінціях Риму) були досягнуті значні успіхи в розробці як графічних засобів розв’язування її задач, так і обрахунку хорд. В “Аналемі” Птоломея були викладені графічні прийоми побудови для виготовлення сонячного годинника, тобто для встановлення місця положення Сонця в залежності від часу, прийоми, які також можна використовувати для визначення часу доби. В основі побудов лежало ортогональне проектування сфери на три взаємно перпендикулярні площини меридіана, горизонту і вертикального кола. Дуги, які шукались при цьому, будувались по півхордам відомих кіл. В „Аналемі” Птолемея міститься відносно розвинута тригонометрія хорд. Індійці спирались на праці елліністичних астрономів, але внесли і багато нового. Очевидно, що на розвиток астрономії в Індії вплинули більш ранні методи, які ввійшли в „Аналему”, і були перетворені тут в систему розрахункових правил. Головною була заміна хорд синусами. Така заміна сама по собі ніби й не помітна, адже хорда дуги r дорівнює подвоєному синусу дуги 2r, тобто відрізняється від синуса лише сталим множником. Але в дійсності перехід від хорди до півхорди мав важливе значення, тому що дозволив природно ввести різні функції, пов’язані зі сторонами і кутами прямокутного трикутника. В Індії було покладено початок тригонометрії, як вченню про тригонометричні величини, хоч і було відведено мало уваги саме розв’язанню трикутників. Синус і косинус також першими ввели індійські вчені. В Індії, по суті, і зароджується вчення про тригонометричні величини, яке пізніше було названо гоніометрією (“гоніа” – кут, “метрео” - вимірюю).

Подальший розвиток вчення про тригонометричні величини отримало в IX-XV століттях у країнах Середнього і Близького Сходу. Ал-Хабаш, Абу-л-Вафа, Ал-Баттані, ал-Біруні та інші вводять нові тригонометричні величини: тангенс, котангенс, секанс, косеканс, встановлюють основні співвідношення між ними, використовують їх під час різних обчислень.

Цікавим є той факт, що поняття “тангенс” і “котангенс”, як і перші таблиці цих величин, з’явились не внаслідок розгляду тригонометричного кола, а із вчення про сонячний годинник.

Тангенси (від латинського tanger - дотикатися) вперше було введено у десятому столітті, так як і котангенс, секанс і косеканс арабським математиком Абу–л–Вафою. Взагалі тангенси виникли у зв’язку з розв’язуванням задачі на визначення довжини тіні. Абу–л–Вафа першим склав таблиці для знаходження тангенсів і котангенсів. Але ці відкриття європейцям довгий час були невідомі, тому тангенси були наново відкриті в чотирнадцятому столітті спочатку англійським вченим Т. Бравердином, а потім ще й німецьким математиком, астрономом Регіомонтаном (1467 р.)

Праця Регіомонтана “П’ять книг про трикутники всіх видів”(1462 - 1466), в якій тригонометрія розглядається як самостійний, незалежний від астрономії, розділ математики, була першою у Європі.

Зміст курсу тригонометрії складався до початку XVIII століття, але сучасна форма її викладу і загальноприйнята тепер символіка встановились лише з часів Ейлера, тобто в другій половині XVIII століття, зокрема, у 1748 році в його праці “Вступ до аналізу нескінченно малих”.

Цей вчений за походженням швейцарець. Він довгий час працював у Росії, був членом Петербурзької академії наук. Він першим увів відомі означення тригонометричних функцій, почав розглядати функції довільного кута, вивів формули зведення. Велика заслуга Ейлера полягає в тому, що він систематизував тригонометрію.

Термін “тригонометричні функції” ввів німецький математик Г. Клюгель (1739 - 1812), який визначав тригонометричні функції, як відношення сторін трикутника.

Сучасне позначення arcsin і arctg з’являються в 1772 році в працях віденського математика Шерфера і французького вченого Ж. Л. Лагранжа, але ще раніше дещо розглядав Д. Бернуллі. Символи arcsin і arctg стали загальноприйнятими в кінці вісімнадцятого століття (від латинського “арк” – лук, дуга).

Вперше графік тригонометричної функції, було зображено французьким математиком Ж. П. де Робервалем в кінці 30-х років XVII століття в зв’язку з визначенням площі циклоїди. Застосування графіків тригонометричних функцій набуло широкого розповсюдження лише після появи “Геометрії” Декарта і створення аналітичної геометрії. Проте вчені довгий час досліджували тригонометричні функції та будували їх графіки. Лише у 1670 році англійський математик Д. Вал ліс розібрався у питанні про знак синуса у кожному квадранті і побудував у своїй “Механіці” два повні оберти синусоїди, зазначивши, що їх нескінченна кількість [1].

У 1668 році з’явились “геометричні етюди” англійського математика Д. Григорі, в яких вперше зустрічається частина тангенсоїди, що відповідає першому квадранту. В 1670 році були опубліковані “Геометричні лекції”

І. Барроу, в яких розміщені графіки косинуса, тангенса, секанса для першого квадранта (графіки останніх двох функцій виявилися неточними).

Питання про знаки тригонометричних функцій у всіх чотирьох квадрантах вперше було правильно викладено у 1705 році в мемуарах Паризької Академії наук Т. де Ланьї [1].

Тригонометрія довгий час розвивалась, як частина геометрії. Можливо тригонометрія розвивалась в зв’язку з потребою в астрономів розв’язувати задачі певного виду (передбачення затемнень). Астрономів цікавили співвідношення між сторонами і кутами сферичних трикутників, складених з великих кругів, що лежать на сфері.

Сьогодні тригонометрія розглядається як дисципліна, що вивчає тригонометричні функції та їх застосування. Застосування тригонометричних функцій відіграє важливу роль в геометрії, при вивченні комплексних чисел, при розв’язуванні рівнянь, при вивченні коливальних процесів, при вивченні функцій загального вигляду (наприклад, ряди Фур’є).

Література:

1. Глейзер Г. И. История математики в средней школе: пособие для учителей. / Г.И. Глейзер.– М.: Просвещение, 1970. – 461 с.

2. Юшкевич А. П. О развитии понятия функции – Ист. – матем. Исследования. / А.П.Юшкевич. – 1996, - вып. 17.