ПРИКЛАДНИЙ ТА ТЕОРЕТИЧНИЙ НАПРЯМКИ РОЗВИТКУ МАТЕМАТИКИ

Створення в середині ХХ ст. електронно-обчислювальних машин по всій значимості можна зрівняти із будь-яким самим видатним відкриттям людства. І якщо звичайні машини, механізми полегшують, розширюють фізичні можливості людини, то ЕОМ є інтелектуальними їх помічниками. Широке застосування математичних методів на базі ЕОМ привело до появи нових ефективних методів пізнання законів реального світу та їх використання в практичній діяльності, а саме математичне моделювання та прикладна математика, які є визначальними факторами науково-технічного прогресу, що сприяють прискоренню розвитку передових галузей народного господарства.

Математичне моделювання широко використовується в хімії, біології, медицині, психології, лінгвістиці і т.д.

Але, на превеликий жаль, на думку деяких математиків, займатися прикладними задачами менш престижно, ніж «чистою»математикою.

З цього приводу Ф. Клейн писав: «Нажаль  все ще зустрічаються університетські викладачі, які не знаходять достатньо зневажливих слів на адресу будь-якого заняття прикладними задачами» [1].  З високомірністю, яка проявляється в таких поглядах, треба боротися найрішучішим чином. Різне практичне досягнення, відноситься воно до теоретичної чи до прикладної області, варто цінити однаково високо, даючи  можливість займатися тими речами, до яких він відчуває найбільший потяг. Тоді кожен проявить себе тим більше різностороннім, чим більшим числом талантів він володіє: великі генії, як Архімед, Ньютон, Гаусс, завжди охоплювали рівномірно і теорію, і практику. 

Приведу ще слова Р.Куранта: «Насправді між «чистою» і прикладною математикою неможливо провести чітку межу. Тому в математиці не повинно бути поділу на касту верховних жерців, які поклоняються непогрішимій математичній красі і які захоплені тільки своїми здібностями, і на робітників, які їх обслуговують. Подібна «кастовість» - в кращому випадку симптом людської обмеженості».

В.В.Новожилов пише: «Нажаль, теоретик до сих пір нерідко розглядає «прикладника» як математика другого сорту, як ученого, який не здатний працювати гранично строго, розмінюється на частинні моменти, що нівелює строгі математичні доведення, твердження. Легко виявляючи у «прикладників» промахи в строгості роздумів, теоретик часто лишається байдужим до їх основного достоїнства – вмінню з достатньою для практичних цілей точністю вирішувати такі актуальні задачі, які він сам строгими методами вирішити не може».

В цих цитатах достатньо яскраво висвітлена психологічна сторона питання. Але залежно від цього треба підкреслити, що нині все частіше признається об’єктивне існування прикладної математики. Одначе і за подібним визнанням ховаються різні точки зору.

Так, деякі вважають, що прикладна математика – «ширпотребна», в поганому сенсі, частина математики, яка існує у вигляді логічно недопрацьованого і недосконалого (можливо, через низьку математичну культуру спеціалістів цієї області) набору деяких прийомів, рецептів і правил. Вказані недоліки прикладної математики мають бути поборені, в результаті чого ця «недоматематика» підніметься до нормального математичного рівня.

Думається, що ця наївна, але поширена точка зору, якщо вона не є проявом снобізму, заснована на важкому нерозумінні істинної ситуації. Насправді, як з цієї точки зору можна пояснити те, що фізики, інженери-теоретики і інші спеціалісти, серед яких, безперечно, є багато розумних людей, використовуючи математику, наполегливо ухиляються від строгої дедуктивної мови? І хоча в інститутах їх систематично навчають цій мові, вони надають перевагу переучуватися, переходячи на мову прикладної математики і перебудовуючи весь образ математичного міркування. В дійсності така перебудова часом нагадує ломку, так як при цьому відкидається багато «чистих» визначень, теорем і прийомів, на які категорично наполягає чисто дедуктивний спосіб міркування. На мою думку, така перебудова цілком природна і єдине пояснення її полягає в тому, що вона необхідна.

Друга точка зору ототожнює прикладну математику з обчислювальною і машинною математикою. Ця точка зору представляється вузькою і такою, яка створює односторонню орієнтацію.

Математичне вирішення прикладних задач володіє серйозною специфікою. Перш за все, тут принципово не можна досягнути у доведеннях того ж рівня, що в чисто математичних досліджень, хоча б тому, що математична модель реального об’єкта може описувати лише існуючі в тому чи іншому сенсі риси цього об’єкта, але ніколи не претендує і не повинна претендувати на його повний опис. З іншої сторони, до вирішень прикладних задач виставляються такі вимоги, які в чисто математичних дослідженнях вважаються другорядними: прикладна задача повинна бути вирішена не тільки правильно, але і своєчасно, економно по затрачених зусиллях, вирішення повинно бути доступним для існуючих обчислювальних засобів і доступним для фактичного використання, точність рішення повинна відповідати задачі і тому подібне.

Найкраще виконання всіх цих, часом суперечливих  одне одному, вимог умовно назвали оптимальністю вирішення (по відношенню до прикладних задач) , хоча на даному етапі розвитку науки єдину функцію мети було б важко вказати. Виходячи з того, було запропоноване визначення прикладної математики як науки про оптимальні, грубо кажучи, практично сприйнятні методах вирішення математичних задач, які виникають поза математикою. Таким чином, прикладна математика – це математика, опосередкована практикою, це наче складова дисципліна подібна біохімії чи теплотехніки.

Розвиток цієї дисципліни визначається як розширенням кола сфери застосування, так і вимірюванням конкретного змісту поняття оптимального вирішення задачі; конкретно цей зміст суттєво змінився під впливом сучасних вичислювальних засобів. Розуміється, що якщо ми шукаємо оптимальне вирішення, то це не означає, що ми повинні відкидати вирішення, які приблизно відповідають вимогах оптимальності. Значна частина реальних вирішень, якими ми користуємося, якраз і є вирішенням, в даний момент в якійсь мірі задовольняюче ці вимоги.

По даному випадку можна нагадати відомий афоризм: «Чиста математика робить те, що можна, так, як потрібно, а прикладна – те, що потрібно, так, як можна».

Представляється  привабливою і точка зору, висловлена Л.В.Овсянниковим: «Прикладна математика – це наука про математичні моделі; найбільш докладніше можна сказати – про будову, дослідження, інтерпретації і оптимізації математичних моделей».

Це визначення, яке виділяє об’єкт науки, на мій погляд, не суперечить попередньому, який має більш функціональний характер. Таким чином, якщо проводити аналогію – в цілому, досить далеку – між математикою і мовою, то чиста і прикладна математика будуть нагадувати граматику і семантику відповідно.

Дискусії про те, чи утворює прикладна математика самостійну науку, представляються дещо схоластичними через багато значимості виразу « самостійна наука». Можливо, що більш правильно говорити не про науку, а про окремий аспект  математики, виникаючим при її  застосуваннях, так сказати, про результат своєрідного проектування математики на цивілізацію; важливо, що при такому проектуванні математика  набуває якісно нові риси. Це проектування, ці риси і визначають прикладну математику.

Приведу на закінчення яскраві слова Р.Куранта, які говорять про відмінності підходу до проблем чистої і прикладної математики: «Одна і та ж математична проблема може бути вирішена по-різному; прихильник строгого математичного підходу потребує безкомпромісної досконалості. Він  не допускає ніяких прогалин в логіці міркування і в вирішенні поставлених задач, а досягнутий результат, на його думку, повинен бути  вершиною нерозривного ланцюжка бездоганних роздумів. І якщо прихильник такого підходу зустрічається з труднощами, які йому здаються непереборними, то він швидше намагається переформулювати задачу або навіть поставить іншу, споріднену їй, складнощі якої він може побороти. Існує і інший обхідний шлях: спочатку визначити те, що вважалося «вирішення проблеми»[3]; в дійсності подібна процедура іноді являє собою досить загальноприйнятий попередній крок до правильного вирішення початкової задачі. В дослідженнях прикладного характеру все виглядає по-іншому. Перш за все, поставлену задачу неможна з такою легкістю видозмінити або обійти. Тут потрібне інше; дати правильну і надійну з загальнолюдської точки зору відповідь. В випадку необхідності математик може піти на компроміс: він має бути готовим внести здогадки в ланцюжок розмірковувань, а також допустити відому похибку в числових значеннях. Однак навіть задачі в основному практичного направлення, наприклад про течії, з ударними хвилями, можуть потребувати фундаментального математичного дослідження, щоб встановити, чи коректно поставлена така задача. В прикладних дослідженнях можуть знадобитись і докази чисто математичних теорем існування, оскільки впевненість в тому, що є вирішення, може гарантувати достовірність використовуваної математичної моделі. І, нарешті, в прикладній математиці домінує апроксимація (приближення) – без них неможливо обійтись при переносі реальних, фізичних процесів на математичні моделі. Відношення до реальності, переробленої в абстрактні математичні моделі, і оцінка точності відповідностей, які досягаються, потребують інтуїтивних навиків, які вдосконалюються досвідом. Часто необхідно якось переробити початкову математичну проблему, яка виявляється занадто важкою для вирішення сучасними методами. Це частково пояснює характер інтелектуального ризику і задоволення, яке випробовують математики, які працюють з інженерами і природовипробовувачами над вирішенням реальних задач, які виникають звідусіль, куди проникає людина в своєму намаганні до пізнання природи і управління нею.

Ще Галілей сказав, що книга природи написана на мові математики. Математику слід назвати не мовою науки, а її граматикою, в якій словами є символи, фразами – формули, а літературним твором – наукові теорії.

У людини поряд із конкретним (образним) мисленням закладена потреба абстрактного мислення, і математика є найвищою формою задоволення цих потреб.

І якщо «чистий» математик категорично виключає можливість застосувати при доведеннях тверджень нематематичного характеру, то прикладний математик вважає допустимим користування, для досягнення мети, будь-якими методами, які накопичені в процесі практичної діяльності людини.

На мою думку, «прикладна математика» наука, яка використовує досягнення математики в різних сферах людської діяльності (не обов’язково математичних), використовуючи для обґрунтування правильності своїх  дій і нематематичні засоби.

Література:

1.Мишкіс А.Д. Що таке прикладна математика? Вісник вищої школи,1997,№2. 2.Налімов В.В.Логічні основи прикладної математики.-М.:Видавництво МГУ,1979

3.Блехман І.І., Мишкіс А.Д., ПановкоЯ.Г. Прикладна математика: логіка, особливості підходів.-Київ.:Наукова думка,1996.

 4.Математика наших днів.-М.:Знання,1999-2010.

5.Тихонов А.Н., Костомаров Д.П.Лекції з прикладної математики.-М.: Наука,2005