ФОРМУВАННЯ ПРИЙОМІВ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ У ДОСЛІДНО-ОРІЄНТОВАНОМУ НАВЧАННІ

У сучасній освітній програмі України однією з пріоритетних задач навчання вважається формування в учнів прикладних навичок з предмета [1]. Однією з головних цілей навчання математики є формування в учнів математичних знань як невід’ємної складової загальної культури людини, необхідної умови її повноцінного життя в сучасному суспільстві на основі ознайомлення школярів з ідеями і методами математики як універсальної мови науки і техніки, ефективного засобу моделювання і дослідження процесів і явищ навколишньої дійсності [2, с. 3]. Для задовільнення потреби суспільства у досягненні такої мети, вважаємо необхідним розвивати в учнів уміння застосовувати знання з математики до моделювання економічних процесів і явищ. Адже у сьогоденному світі ринкових відносин у поняття «освічена людина» як одна з основних складових входить поняття економічної грамотності людини.

У цій області розглянуто питання використання шкільної математики у фінансовій сфері як засобу організації пізнавальної діяльності учнів (Л. Д. Межейнікова), висвітлено можливості застосування геометричних та алгебраїчних (відсотки, арифметична і геометрична прогресії) методів до аналізу соціо-економічних проблем (А. І. Дзундза, В. О. Цапов).

На жаль, питання можливості використання одного з основних апаратів математики – функцій – у наповненні шкільного курсу прикладним економічним змістом залишається відкритим. Адже змістова лінія «Функції, їхні властивості та графіки» є однією з основних у курсі шкільної алгебри і початків аналізу і одночасно, вона має значні можливості для побудови та вивчення математичних моделей економічної природи, їх дослідження. Також дослідження вимагає і питання про способи та шляхи включення задач на економіко-математичне моделювання у навчально-виховний процес.

Мета статті на прикладі однієї теми, показати у який спосіб можна застосовувати приклади економіко-математичного моделювання на різних етапах уроку математики у 7 класі. Вивчаючи у 7 класі лінійні функції ми розглядаємо такі найпростіші економічні поняття, як ціна, товари і послуги, попит та пропозиція, вводимо поняття виробничої функції. У 8 класі гарним прикладом зворотної залежності може послужити закон попиту, закон спадаючої граничної корисності, рівняння обміну Фішера. У 9 класі вважаємо доцільним розглянути розв’язання задачі про максимальний прибуток за допомогою квадратичної функції. Степеневі функції в 10 класі можна розглядати у застосуванні до опису кривих байдужості, а також попиту на товари різних категорій, так звана крива Торнквіста. У темі показникові і логарифмічні функції, одинадцятикласники можуть навчитися за допомогою експоненційної виробничої функції досліджувати динаміку зміни обсягу виробництва з часом, ознайомитися з "правилом 70".

На прикладі вивчення лінійної функції, її властивостей та графіку, що розглядають в темі «Функції» 7 класу, виділимо з етапів уроку [8, с. 113] найбільш характерні, де застосування найпростіших економіко-математичних моделей було б доцільним: етап актуалізації знань, етап мотивації, введення нового матеріалу, закріплення, застосування вивченого матеріалу, контролю знань і умінь учнів.

Актуалізація знань. Актуалізація знань – це вибір з попереднього матеріалу всього того, що необхідне для вивчення нового матеріалу [7, с. 211]. Для вивчення, наприклад, поняття лінійної функції, необхідно повторити наступні поняття: функція, способи завдання функції, координатна пряма, координатна площина, актуалізувати уміння знаходити координати точки на координатній площині, будувати точку за її координатами [4]. Повторення цього матеріалу можна організувати за допомогою виконання такого завдання.

Етап мотивації. Головним фактором, який впливає на продуктивність процесу навчання, є мотивація. Під мотивацією розуміють процеси, методи чи засоби спонукання учнів до активної пізнавальної діяльності, глибокого засвоєння змісту навчання [6]. Існують різні прийоми формування мотивації в учнів. Серед них є створення проблемної ситуації. Коли людина виявляється в проблемній ситуації, то, як правило, прагне вийти з неї, перебороти перешкоду, тому у людини виникає активна розумова діяльність [7, с. 208]. Проблемна ситуація (за С. Л. Рубінштейном) – це психічний стан інтелектуального ускладнення, який виникає у людини, коли вона в об’єктивній ситуації (в ситуації задачі) не може пояснити новий факт за допомогою знань, що є, або виконати відому дію колишніми, знайомими способами і повинна знайти новий спосіб дій. Таким прийомом, на наш погляд, можна скористатися для мотивації вивчення графіка лінійної функції.

Введення нового матеріалу. При введенні поняття функція, підручники використовують приклади залежностей між довжиною сторін фігури та її периметром, часом і відстанню, що за цей час пройдено [5], довжиною сторін фігури та її площею, об’ємом і масою тіла, залежність довжини пружини від маси вантажу, що на неї підвішений [3]. Проте економічна спрямованість також може статися у нагоді при введенні цього поняття, а, можливо, і полегшити його розуміння.

Для закріплення вивченого матеріалу з теми, можна використати, наприклад, задачі такого типу.

Приклад 1. Фірма складається з двох відділень, сумарна величина прибутку яких минулого року склала 13 тис. грн. На цей рік заплановане збільшення прибутку першого відділення на 75 %, а другого – на 140 %. Тоді сумарний прибуток фірми повинен зрости у два рази. Який прибуток кожного з відділень: 1) минулого року? 2) цього року?

У процесі розв’язування учителю бажано звернути увагу на отриману лінійну залежність, а після розв’язання математичної моделі – провести аналіз відповіді щодо її економічного змісту, а саме: 1) прибуток минулого року першого відділення складав 8 тис. грн., другого – 5 тис. грн., 2) прибуток цього року першого відділення тис. грн., другого – тис. грн.

Застосування вивченого матеріалу. До навчальних задач етапу застосування вивченого матеріалу відносять такі задачі:

• забезпечити засвоєння учнями знань і способів дій на рівні застосування їх у різноманітних ситуаціях;

• забезпечити формування в учнів умінь самостійно застосовувати знання в різноманітних ситуаціях.

Зазвичай на цьому етапі учням пропонують розв’язання прикладних задач з теми, що вивчається.

Приклад 2. Функція попиту населення на даний товар , функція пропозиції , де - об’єм попиту у млн. штук на рік, - об’єм пропозиції у млн. штук на рік, – ціна. З’ясуйте рівноважну ціну та рівноважну кількість на даному ринку за графіком та аналітично.

Для лінійної функції вигляду відомо, що кутовий коефіцієнт показує, наскільки збільшується значення функції при збільшенні значення її аргументу на одиницю, тобто швидкість змінення функції. Викладачеві у процесі евристичної бесіди доцільно підвести учнів до відкриття того, що коли коефіцієнт додатний, функція є зростаючою, коли від’ємний –спадною. І зауважити, що у випадку, коли функція попиту є лінійною, її кутовий коефіцієнт має бути від’ємним, а коефіцієнт функції пропозиції – додатним (згідно закону попиту та пропозиції).

Контроль знань учнів. Економіко-математичні моделі можуть бути використані у тематичному та (або) у підсумковому оцінюванні в якості прикладних задач, що входять до складу контрольної роботи з теми.

Приклад 3. Вартість обладнання ремонтної майстерні складає 72000 грн., а річна амортизація – 3000 грн. Виразити залежність вартості обладнання від часу, якщо річні амортизаційні відрахування постійні [3].

Висновки. Наведені приклади демонструють способи використання економіко-математичних моделей на різних етапах уроку математики у 7 класі. Таке їх включення у навчальний процес сприятиме також розвитку у школярів прийомів дослідницької роботи, побудови математичних моделей, а також формування економічної грамотності учнів. Проте слід зауважити, що проблема упровадження економіко-математичного моделювання у процес навчання математики за іншими темами ще далека від повного свого розв’язку і вимагає дослідження.

Література:

1. Державний стандарт базової і повної середньої освіти: затверджено постановою Кабінету Міністрів України від 14 січня 2004 р. N 24 - Режим доступу: http://www.mon.gov.ua/education/average

2. Навчальна програма з математики: затверджено Міністерством освіти і науки України (лист № 1/11-6611 від 23.12.2004р.).

3. Бевз Г.П. Алгебра: підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл / Бевз Г. П, Бевз В. Г. – К.: Зодіак-ЕКО, 2007. ‑ 304 с.

4. Кірман В. К Про способи задання функцій у шкільному курсі математики / В. К. Кірман // Вісник Черкаського університету. Серія: Педагогічні науки. – Черкаси, 2006 – Вип. 93. – с. 64-71.

5. Кравчук В. Алгебра: Підручник для 7 класу / Кравчук В., Янченко Г. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2007. – 224 с.

6. Подласый И.П. Педагогика. Новый курс для студ. пед. вузов: в 2 кн. Кн. 1 / И.П. Подласый. – М.: Гуманит. изд. центр «Владос», 1999. – 498 с.

7. Скафа О. І. Компютерно-орієнтовані уроки в евристичному навчанні математики: навчально-методичний посібник / Скафа О. І., Тутова О. В. – Донецьк: Вид-во „VEPER”, 2009. – 320 с.

8. Слєпкань З.І. Методика навчання математики / З.І. Слєпкань.– К.: Вища школа, 2006.– 540 с.